Lineare Algebra Beispiele

$- 3 x + 2 y = 10$ , $- 2 x - 2 y = - 5$

Schritt 1

Löse in $- 3 x + 2 y = 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = 10 - 2 y$

$- 2 x - 2 y = - 5$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 10 - 2 y$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = 10 - 2 y$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

$x = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

$x = \frac{10}{- 3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{10}{3} + \frac{- 2 y}{- 3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 2 x - 2 y = - 5$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $- 2 x - 2 y = - 5$ durch $- \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$ .

$- 2 (- \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}) - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}) - 2 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (- \frac{10}{3}) - 2 \frac{2 y}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Multipliziere $- 2 (- \frac{10}{3})$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 (\frac{10}{3}) - 2 \frac{2 y}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{10}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 10}{3} - 2 \frac{2 y}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{20}{3} - 2 \frac{2 y}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{20}{3} - 2 \frac{2 y}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3

Multipliziere $- 2 \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 y}{3}$ .

$\frac{20}{3} + \frac{- 2 (2 y)}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{20}{3} + \frac{- 4 y}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{20}{3} + \frac{- 4 y}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3} - 2 y = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- 2 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3} - 2 y \cdot \frac{3}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.3

Kombiniere $- 2 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - \frac{4 y}{3} + \frac{- 2 y \cdot 3}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20}{3} + \frac{- 4 y - 2 y \cdot 3}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 - 4 y - 2 y \cdot 3}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{20 - 4 y - 6 y}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.7

Subtrahiere $6 y$ von $- 4 y$ .

$\frac{20 - 10 y}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8

Faktorisiere $10$ aus $20 - 10 y$ heraus.

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Schritt 2.2.1.8.1

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$\frac{10 (2) - 10 y}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8.2

Faktorisiere $10$ aus $- 10 y$ heraus.

$\frac{10 (2) + 10 (- y)}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 2.2.1.8.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (2) + 10 (- y)$ heraus.

$\frac{10 (2 - y)}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{10 (2 - y)}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{10 (2 - y)}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{10 (2 - y)}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$\frac{10 (2 - y)}{3} = - 5$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3

Löse in $\frac{10 (2 - y)}{3} = - 5$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten mit $3$ .

$\frac{10 (2 - y)}{3} \cdot 3 = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $\frac{10 (2 - y)}{3} \cdot 3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 (2 - y)}{3} \cdot 3 = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$10 (2 - y) = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$10 (2 - y) = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \cdot 2 + 10 (- y) = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $10$ mit $2$ .

$20 + 10 (- y) = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$20 - 10 y = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3.3

Stelle $20$ und $- 10 y$ um.

$- 10 y + 20 = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 10 y + 20 = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 10 y + 20 = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 10 y + 20 = - 5 \cdot 3$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$- 10 y + 20 = - 15$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 10 y + 20 = - 15$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 10 y + 20 = - 15$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 y = - 15 - 20$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $20$ von $- 15$ .

$- 10 y = - 35$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$- 10 y = - 35$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 10 y = - 35$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 y = - 35$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 y}{- 10} = \frac{- 35}{- 10}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 y}{- 10} = \frac{- 35}{- 10}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 35}{- 10}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 35}{- 10}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{- 35}{- 10}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 35$ und $- 10$ .

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Schritt 3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 35$ heraus.

$y = \frac{- 5 \cdot 7}{- 10}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 10$ heraus.

$y = \frac{- 5 \cdot 7}{- 5 \cdot 2}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 5 \cdot 7}{- 5 \cdot 2}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 3.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\frac{7}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = - \frac{10}{3} + \frac{2 y}{3}$ durch $\frac{7}{2}$ .

$x = - \frac{10}{3} + \frac{2 (\frac{7}{2})}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $- \frac{10}{3} + \frac{2 (\frac{7}{2})}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 10 + 2 (\frac{7}{2})}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 10 + 2 (\frac{7}{2})}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 10 + 7}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{- 10 + 7}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.3.1

Addiere $- 10$ und $7$ .

$x = \frac{- 3}{3}$

$y = \frac{7}{2}$

Schritt 4.2.1.3.2

Dividiere $- 3$ durch $3$ .

$x = - 1$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - 1$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - 1$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - 1$

$y = \frac{7}{2}$

$x = - 1$

$y = \frac{7}{2}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 1, \frac{7}{2})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 1, \frac{7}{2})$

Gleichungsform:

$x = - 1, y = \frac{7}{2}$

Schritt 7